INTEGRAL-FUNGSI RASIONAL LINIER

 

     Halo guys bagaimana nih kabarnya?? semoga kalian baik2 aja yah. Kemarin kita kan sudah bahas tentang metode subsitusi sekarang kita bahasa tentang INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI RASIONAL.

     Persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fungsi dinamakan fungsi rasional sejati jika pangkat pembilang kurang dari pangkat penyebut.

    Integral fungsi rasional linier adalah jenis integral yang melibatkan fungsi yang merupakan hasil bagi dari dua polinom, di mana polinom pembilang dan penyebut masing-masing memiliki derajat yang sama atau berbeda satu. Bentuk umum dari fungsi rasional linier adalah sebagai berikut:

di mana a, b, c, dan d adalah konstanta, dan c dan d tidak sama dengan nol.

        
        Untuk menghitung integral dari fungsi rasional linier, dapat dilakukan dengan cara membagi fungsi tersebut menjadi dua bagian: bagian pertama dengan pembilang konstan, dan bagian kedua dengan pembilang linier. Kemudian, setiap bagian tersebut dapat diintegrasikan secara terpisah.

Sebelum masuk ke pembahasan lebih lanjut, ada dua istilah yang perlu Anda pahami terlebih dahulu, yakni fungsi rasional sejati dan fungsi rasional tidak sejati.

        Fungsi f(x) dan g(x) di atas dinamakan fungsi rasional sejati karena pangkat dari pembilang kurang dari pangkat penyebut. Sebaliknya, fungsi hℎ adalah fungsi rasional tidak sejati karena pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebut.

        Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Sebagai contoh, perhatikan berikut ini:

        Hasil di atas kita peroleh dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut, seperti dapat dilihat pada perhitungan berikut.   

        Oleh karena fungsi suku banyak mudah diintegralkan, maka persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada persoalan mengintegralkan fungsi rasional sejati. Tetapi apakah fungsi rasional sejati selalu dapat diintegralkan? Dalam teori, jawabannya selalu dapat, walaupun pencariannya tidak selalu mudah.

INTEGRAL-TEKNIK PARSIAL

 

         Halo guys bagaimana nih kabarnya?? semoga kalian baik2 aja yah. Kemarin kita kan sudah bahas tentang metode subsitusi sekarang kita bahasa tentang INTEGRAL DENGAN TEKNIK PARSIAL.

         Integral parsial adalah teknik pengintegralan dengan cara parsial. Apa itu teknik parsial? Teknik parsial adalah teknik penyelesaian integral dengan cara pemisalan karena komponen yang diintegralkan memuat variabel yang sama namun berbeda fungsi. Biasanya, integral parsial ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang cukup komplek. Bentuk umum integral parsial adalah sebagai berikut.

            Adapun keterangan masing-masing variabel adalah sebagai berikut.

u = f(x), sehingga du = f(x)dx

= g(x)dx, sehingga v = g(x)dx

        Ternyata, fungsi trigonometri juga bisa diintegralkan, lho. Kamu akan lebih mudah memahami integral trigonometri jika sebelumnya pernah belajar tentang turunan trigonometri. Hal itu karena integral merupakan bentuk antiturunan. Bentuk integral trigonometri, khususnya sin x dan cos x, harus mengikuti alur berikut ini.

Alur di atas memiliki arti berikut.

1     .Jika sin x diinteralkan, akan dihasilkan –cosx.

2.     Jika cos x diintegralkan, akan dihasilkan sin x.

        Untuk lebih jelas kita masuk kecontoh soal:

   

                              

 

           

Oke guys itu tadi materi integral dengan teknik parsial sebelum ku akhiri mari membaca kata2 menyentuh

"Matematika adalah yang terpenting"

INTEGRAL-SUBSITUSI TRIGONOMETRI

 

           Halo guys bagaimana nih kabarnya?? semoga kalian baik2 aja yah. Kemarin kita kan sudah bahas tentang metode subsitusi sekarang kita bahasa tentang  INTEGRAL TEKNIK SUBSITUSI TRIGONOMETRI. Bentuk akar dalam integran sering kali menimbulkan kesulitan untuk memecahkan integral yang bersangkutan. Dengan substitusi trigonometri yang tepat bentuk akar itu dapat dirasionalkan.

            

      Dengan substitusi trigonometri yang tepat bentuk akar dalam integran dapat dirasionalkan dan karena itu dapat dengan mudah untuk diintegralkan.

              Integral yang mengandung

        

    Apabila kita menjumpai integran yang fungsinya mengandung ketiga bentuk akar di atas, maka teknik integral substitusi trigonometri dapat diterapkan. Untuk merasionalkan bentuk akar-akar tersebut kita gunakan substitusi berikut:

            

          Perhatikan bahwa batas pada t memungkinkan kita untuk menghilangkan tanda nilai absolut, selain itu pembatasan ini juga membuat fungsi sin,tan dan sec menjadi dapat diinverskan.

        Contoh 1: Substitusi Trigonometri: u = a sin θ

                Selesaikan,

               Pembahasan: Untuk menggunakan substitusi trigonometri, kita harus melihat  bahwa √(9 – x²) merupakan bentuk dari √(a² – u²). Sehingga kita dapat                 menggunakan substitusi

Sehingga, persamaan yang menghubungkan variable x dan θ di atas dapat dimodelkan ke dalam segitiga siku-siku sebagai berikut.

Dengan menggunakan turunan dan segitiga di atas, kita mendapatkan

Sehingga, dengan menggunakan substitusi dihasilkan

 

Perhatikan bahwa segitiga pada gambar di pembahasan Contoh 1 tersebut, dapat juga digunakan untuk mengubah θ kembali menjadi x sebagai berikut.

                Contoh 2: Subsitusi Trigonometri: Pangkat Rasional

                        Selesaikan,

                        Pembahasan Pertama, kita harus menulis (x² + 1)3/2 ke dalam bentuk         [√( x² +   1)]3. Kemudian, misalkan a = 1 dan u = x = tan θ, seperti yang digambarkan seperti berikut.

Dengan menggunakan

sekarang kita dapat mengaplikasikan substitusi trigonometri seperti berikut.

Untuk integral tentu, sebaiknya kita mengubah batas-batas x menjadi batas-batas θ. Hal ini dimaksudkan agar kita tidak perlu melakukan subsitusi-balik.

   Oke guys, itu tadi materi integral tak tentu dan ku akhiri dengan kata-kata bijak yang menyentu

"Rindu adalah matematika yang curang, ia hanya mengenal penjumlahan tanpa mengerti pengurangan."

INTEGRAL-FUNGSI TRIGONEMETRI

 

    

    Halo guys bagaimana nih kabarnya?? semoga kalian baik2 aja yah. Kemarin kita kan sudah bahas tentang metode subsitusi sekarang kita bahasa tentang INTEGRAL FUNGSI TRIGONEMETRI. Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, Ada beberapa dasar fungsi trigonemetri yang dapat jadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Antaranya yaitu:

1.                 
2.                 
3.                 
4.               
5.               
6.              

            Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

       

• dengan m bilangan ganjil atau genap positif 

                - Jika m bulat positif dan ganjil, maka m diubah menjadi (𝑚 − 1) + 1, atau m digenapkan                           terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas.

                            Contoh:

                                

                            penyelesaian:

                        

                                       

                  -Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan 

                       identitas:   dan  .

                                 Contoh:

                                         

                                Penyelesaian:

                                    Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka

•                           

                   Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka                        faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas .

                   Contoh:

            1.,Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap

                        

           2.
                        Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan   

                      kesamaan setengah sudutdan ,sehingga:

                                

•  dan 

                 - Untuk kasus  ,faktorkan tan x kemudian gunakan identitas:                                                                                  

                 - Untuk kasus , faktorkan cot x kemudian gunakan identitas:

            

             Oke guys, itu tadi materi integral tak tentu dan ku akhiri dengan kata-kata bijak yang menyentuh. 

 "Matematika mungkin tidak mengajarkan kita bagaimana menghirup oksigen dan mengembuskan karbon dioksida atau bagaimana mencintai seorang teman dan memaafkan musuh. Tapi, itu memberi kita alasan untuk berharap bahwa setiap masalah memiliki solusi."